[Level 1] Quantitative Methods

[Tóm tắt các kiến thức quan trọng] của Reading 3: Probability Concepts

Các vấn đề cơ bản cần chú ý khi học Reading 8 trong chương trình CFA level 1

1           Một số khái niệm cơ bản

1.1         Biến ngẫu nhiên, kết quả đầu ra và biến cố

Biến ngẫu nhiên (random variable):  một giá trị bằng số, thể hiện kết quả của một phép thử ngẫu nhiên.

Kết quả đầu ra (outcome): một giá trị quan sát được của một biến ngẫu nhiên.

Biến cố (event): một hoặc một tập hợp các kết quả đầu ra.

1.2         Biến cố xung khắc, hệ biến cố đầy đủ và biến cố đối

Biến cố xung khắc (mutually exclusive events): các biến cố được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra.

Hệ biến cố đầy đủ (an exhaustive set of events): một hệ biến cố đầy đủ là một tập hợp gồm tất cả các kết quả đầu ra có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên.

Biến cố đối của biến cố A hay phần bù của biến cố A (complement of A), kí hiệu là một biến cố thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

1.3         Biến cố độc lập và biến cố phụ thuộc

Biến cố độc lập (Independent events): hai biến cố được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố còn lại.

Biến cố phụ thuộc (Dependent events): hai biến cố được gọi là phụ thuộc nếu việc xảy ra hay không xảy ra của một biến cố ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố còn lại.

2           Xác suất

2.1         Định nghĩa và thuộc tính của xác suất

Xác suất (probability) là khả năng xảy ra của một biến cố nhất định, và là một số có giá trị từ 0 (0% - không thể xảy ra) đến 1 (100% - chắc chắn sẽ xảy ra).

Hai thuộc tính định nghĩa xác suất:

Xác suất còn được xác định dưới dạng odds:

Odd là tỉ lệ giữa xác suất xảy ra 1 sự kiện so với xác suất không xảy ra sự kiện đó

  • Odds for E = P(E)/ [1 – P(E)]
  • Odds against E = [1 – P(E)]/ P(E)

2.2         Xác suất chủ quan và xác suất khách quan

Xác suất chủ quan (Subjective probability): phản ánh nhận thức về kết quả xảy ra dựa trên đánh giá cá nhân hoặc chủ quan; phụ thuộc vào kỳ vọng, sở thích, kinh nghiệm và sự đánh giá về tương lai của người ra quyết định.

Xác suất khách quan (Objective probability): xác suất được tính dựa trên tần suất xuất hiện của một sự kiện nhất định.

  • Xác suất tiên nghiệm (Priori probability): xác suất tiên nghiệm, hay xác suất biết trước, là xác suất khách quan tính được dựa trên kiến thức và suy luận logic, thay vì quan sát và thực nghiệm.
  • Xác suất thực nghiệm (Emperical probability): xác suất thực nghiệm là xác suất khách quan tính dược dựa trên dữ liệu quan sát và thực nghiệm.

2.3         Xác suất không điều kiện và xác xuất có điều kiện

Xác suất biên/xác suất không điều kiện (Marginal probability/Unconditional probability): xác suất xảy ra của một biến cố nhất định, không phụ thuộc vào sự xảy ra của biến cố nào trước/sau đó. Kí hiệu: P(A) – xác suất của biến cố A.

Xác suất có điều kiện (Conditional probability): xác suất xảy ra của một biến cố với điều kiện một biến cố khác xảy ra. Kí hiệu: P(A|B) – xác suất của biến cố A, với điều kiện biến cố B xảy ra.

Xác suất có điều kiện của biến cố A được tính bằng công thức:

P(A|B) = P(AB)/P(B), P(B) ≠ 0

Trong đó:

  • P(A|B): xác suất của biến cố A, với điều kiện biến cố B đã xảy ra
  • P(AB): xác suất chung (joint probability) của hai biến cố A và B (xác suất hai biến cố A và B cùng xảy ra)
  • P(B): xác suất không điều kiện của biến cố B, với giả định P(B) ≠ 0

2.4         Các quy tắc tính xác suất (Probability rules)

Quy tắc

Ứng dụng

Công thức

Quy tắc nhân xác suất (1)

Tính xác suất chung của hai biến cố

  P(AB) = P(A|B) x P(B)

Quy tắc cộng xác suất (2)

Tính xác suất ít nhất một trong hai biến cố xảy ra

  P(A hoặc B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Quy tắc tổng xác suất (3)

Tính xác suất không điều kiện của một biến cố

(1) Multiplication Rule of Probability; (2) Addition Rule of Probability; (3) Total Probability Rule.

3           Ứng dụng của các quy tắc tính xác suất

3.1         Quy tắc nhân cho biến cố độc lập

Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(A|B) = P(A), hoặc, tương đương với, P(B|A) = P(B)

Nếu biến cố A và B độc lập thì P(AB) = P(A)P(B)

3.2        Giá trị kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên

3.2.1        Định nghĩa và công thức tính giá trị kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

Công thức

Giá trị kỳ vọng (Expected value) của một biến ngẫu nhiên là trung bình công có trọng số xác suất của các kết quả đầu ra có thể xảy ra của biến ngẫu nhiên đó.

Phương sai (Variance) của một biến ngẫu nhiên là giá trị kỳ vọng của bình phương độ lệch của các kết quả đầu ra và giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đó.

Độ lệch chuẩn (Standard deviation) của một biến ngẫu nhiên là căn bậc hai dương của phương sai của biến ngẫu nhiên đó.

Trong đó:

3.2.2        Sơ đồ cây

Sơ đồ cây (tree diagram) có thể đại diện cho một loạt các sự kiện độc lập hoặc xác suất có điều kiện. Mỗi nút (node) trên sơ đồ đại diện cho một sự kiện và được liên kết với xác suất của sự kiện đó.

Ví dụ: Tỉ suất lợi nhuận trên cổ phần (earning per share – EPS) của BankCorp nhạy cảm với lãi suất và tăng khi lãi suất giảm. Giả sử xác suất BankCorp vận hành trong môi trường giảm lãi suất trong năm tài chính hiện tại là 0.60, trong môi trường ổn định lãi suất là 0.40 và trong môi trường tăng lãi suất là không đáng kể. Trong môi trường giảm lãi suất, xác suất EPS = $2.60 là 0.25, xác suất EPS = $2.45 là 0.75. Trong môi trường ổn định lãi suất, xác suất EPS = $2.20 là 0.64, xác suất EPS = $2.00 là 0.40. Tính giá trị kỳ vọng của EPS trong năm tài chính hiện tại.

Giải:

Các dữ kiện đã cho được minh họa bằng sơ đồ cây bên dưới:

Ta có:

E (EPS | môi trường giảm lãi suất) = 0.25($2.60) + 0.75($2.45) = $2.4875

E (EPS | môi trường ổn định lãi suất) = 0.60($2.20) + 0.40($2.00) = $2.12

E (EPS) = (EPS | môi trường giảm lãi suất) P(môi trường giảm lãi suất) + E (EPS | môi trường ổn định lãi suất) P(môi trường ổn định lãi suất) = $2.4875(0.60) + $2.12(0.40) = $2.3405

Lưu ý:

(1) Từ các dữ kiện đã cho, ta cũng có thể tính được xác suất không điều kiện của mỗi giá trị của EPS. Ví dụ P ($2.60) = P (EPS = $2.60 | môi trường giảm lãi suất) P (môi trường giảm lãi suất) = 0.25 * 0.60 = 0.15.

(2) Tổng xác suất không điều kiện của tất cả các giá trị có thể xảy ra của EPS bằng 1: P($2.60) + P($2.45) + P($2.20) + P($2.00) = 0.15 + 0.45 + 0.24 + 0.16 = 1.

3.3         Đánh giá lợi nhuận và rủi ro của một danh mục đầu tư

Các đại lượng đánh giá lợi nhuận và rủi ro của danh mục đầu tư được tính bởi công thức như bảng sau:

Đại lượng

Công thức

Lợi nhuận

Lợi nhuận kỳ vọng

Phương sai

Độ lệch chuẩn

Hiệp phương sai

Tổng thể:

Mẫu: 

Hệ số tương quan

Hiệp phương sai (Covariance) đo độ biến thiên cùng nhau của hai biến ngẫu nhiên.


Tính chất:

Hệ số tương quan (Correlation) giữa hai biến ngẫu nhiên bằng hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên chia cho tích độ lệch chuẩn của mỗi biến.

3.4         Công thức Bayes

Công thức Bayes: để cập nhật xác suất xảy ra của biến cố (A) khi biến cố (B) xảy ra:

Xác suất cập nhật của biến cố A khi biến cố B xảy ra P(A|B) trong trường hợp này là xác suất hậu nghiệm (posterior probability), hay xác suất biết sau, vì nó phản ánh sự thay đổi xác suất của biến cố A sau khi biến cố B xảy ra.

4           Các quy tắc đếm

Quy tắc

Định nghĩa

Công thức

Quy tắc nhân

(Multiplication Rule

of Counting)

Giai thừa

(Factorial)

Số cách sắp xếp thứ tự của n phần tử là n giai thừa

Dán nhãn

(Labeling)

Số cách gắn k nhãn khác nhau cho n phần tử, trong đó ni là số phần tử được gắn nhãn i.

Tổ hợp

(Combination)

Số cách chọn r phần tử, không phân biệt thứ tự từ một tập hợp có n phần tử

Chỉnh hợp

(Permutation)

Số cách chọn r phần tử, có phân biệt thứ tự từ một tập hợp có n phần tử

 

Reviewer: Bích Ngọc