[Tóm tắt kiến thức quan trọng] Module 4: Common Probability Distributions

Bài viết cung cấp cho người đọc kiến thức về Module 4 môn QUANT của chương trình CFA level I

1. Một số khái niệm cơ bản

1.1. Hai loại biến ngẫu nhiên (Random Variables)

Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete random variable): biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó (outcomes) tạo thành một tập hợp hữu hạn đếm được.

• Ví dụ: số ngày mưa trong một tháng nhất định.

Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous random variable): biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó (outcomes) tạo thành một tập hợp vô hạn không đếm được.

• Ví dụ: lợi nhuận của một danh mục đầu tư do nó có thể nhận bất kỳ giá trị số thực nào.

 

1.2. Phân phối xác suất

Phân phối xác suất (Probability distribution) cho biết xác suất xảy ra của tất cả các giá trị có thể có (outcomes) của một phép thử.

 

1.3. Hàm xác suất và hàm phân phối

2. Biến ngẫu nhiên rời rạc

2.1. Phân phối đều rời rạc

Biến ngẫu nhiên phân phối đều rời rạc (Discrete uniform random variable) là biến ngẫu nhiên rời rạc mà xác suất nhận bất kỳ giá trị nào đều bằng nhau. 

Đặc điểm:

• p(1) = p(2) = p(3) = ... = p(n)

• F(x) = P(X ≤ x)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đều rời rạc là phân phối đều rời rạc (discrete uniform distribution).

 

2.2. Phân phối đồng nhất liên tục (Continuous uniform distribution)

Là phân phối xác suất được xác định trong một phạm vi kéo dài giữa một số giới hạn dưới, a và một số giới hạn trên, b, dùng làm tham số của phân phối.

Hàm mật độ xác suất:

Hàm phân phối xác suất lũy kế:

 

2.3. Phân phối nhị thức (Binomial distribution)

Phép thử Bernoulli là một thử nghiệm với hai kết quả duy nhất là thất bại và thành công.

Xác suất đạt x lần thành công trong n phép thử có công thức như sau:

Số phép thử thành công kỳ vọng trong n phép thử X = E(X) = n x p.

Phương sai của biến ngẫu nhiên nhị thức X = n x p x (1-p).

3. Phân phối chuẩn

3.1. Đặc điểm của phân phối chuẩn

                     

• Phân phối chuẩn (Normal distribution) xác định bởi hai tham số: giá trị trung bình µ và phương sai , ta có   . Khi đó có thể phát biểu rằng "X phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ và phương sai ".
• Phân phối chuẩn có độ lệch bằng 0 (đối xứng), độ nhọn bằng 3 và có hình chuông.
• Phân phối chuẩn đối xứng qua giá trị trung bình , do đó giá trị trung bình = số trung vị = số yếu vị (mean = median = mode).
• Tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn cũng tuân theo phân phối chuẩn. (ví dụ: x và y phân phối chuẩn, thì 2x + 3y cũng tuân theo phân phối chuẩn).
• Các giá trị có thể nhận được của X là toàn bộ giá trị trên trục số thực, hay - ∞ < x < + ∞

Phần đuôi của phân phối chuẩn dần tiệm cận 0 và kéo dài vô hạn về hai phía nhưng không bao giờ nhận giá trị 0, nghĩa là X nhận giá trị càng xa giá trị trung bình thì xác suất càng nhỏ nhưng không bao giờ bằng 0.

 

3.2. Phân phối đa biến và phân phối đơn biến

Phân phối đơn biến và phân phối đa biến:

• Phân phối đơn biến (Univariate distribution): Mô tả các xác suất của một biến ngẫu nhiên duy nhất.

• Phân phối đa biến (Multivariate distribution): Mô tả các xác suất cho một nhóm các biến ngẫu nhiên có liên quan.

Đặc điểm chính của phân phối đa biến

Ý nghĩa: Sự biến thiên của mỗi biến ngẫu nhiên trong nhóm theo một cách nào đó phụ thuộc vào hành vi của những biến khác.

Bộ ba tham số dùng để xác định phân phối chuẩn đa biến cho lợi nhuận của n tài sản:

• Giá trị trung bình: có n giá trị trung bình của biến lợi nhuận

• Phương sai: có n giá trị phương sai của biến lợi nhuận

• Hệ số tương quan: có 0.5n(n-1) cặp hệ số tương quan tương ứng.

 

3.3. Tính toán xác suất để một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn nằm trong một khoảng nhất định

Khoảng tin cậy (Confidence intervals) của phân phối chuẩn

• Khoảng tin cậy 90% cho X là X - 1,65 × độ lệch chuẩn đến X + 1,65 × độ lệch chuẩn.

• Khoảng tin cậy 95% cho X là X - 1,96 × độ lệch chuẩn đến X + 1,96 × độ lệch chuẩn.

• Khoảng tin cậy 99% cho X là X - 2,58 × độ lệch chuẩn đến X + 2,58 × độ lệch chuẩn.

 

3.4. Phân phối chuẩn tắc (standard normal distribution): hay phân phối chuẩn đơn vị (unit normal distribution) là phân phối chuẩn có µ = 0 và σ = 1.

Công thức chuẩn hóa biến ngẫu nhiên:

 

Ứng dụng: Dùng bảng z-table để tìm xác suất P(X ≤ x)\

 

 

3.5. Ứng dụng của phân phối chuẩn

Quy tắc an toàn là trên hết (Safety-first rule) tập trung vào rủi ro thâm hụt (shortfall risk) – xác suất mà giá trị hay lợi nhuận của một danh mục đầu tư giảm xuống dưới một mức giá trị hay lợi nhuận mục tiêu cụ thể - target value - trong một khoảng thời gian xác định.

Tiêu chí an toàn là trên hết của Roy (Roy’s safety-first criterion): danh mục đầu tư tối ưu là danh mục tối thiểu hóa xác suất mà lợi nhuận của danh mục - giảm xuống dưới mức ngưỡng (threshold level) - (mức thấp nhất có thể chấp nhận được). Danh mục đầu tư tối ưu là danh mục có giá trị SFRatio lớn nhất, với SFRatio được tính bởi công thức

Ví dụ: Danh mục đầu tư nào dưới đây có SFRatio tối ưu nếu mức lợi nhuận thấp nhất có thể chấp nhận được là 6%.

Danh mục đầu tư	Lợi nhuận kỳ vọng (%)	Độ lệch chuẩn (%)
1	13	5
2	11	3
3	9	2

Giải:

Theo tiêu chí an toàn là trên hết của Roy, danh mục 2 là danh mục đầu tư tối ưu do có SFRatio lớn nhất (1.67 > 1.50 > 1.40).

4. Phân phối loga chuẩn

Phân phối loga chuẩn được tạo ra bởi hàm,. Trong đó, x được phân phối chuẩn. Phân phối loga chuẩn có các đặc tính chính như sau:

• Phân phối loga chuẩn bị lệch sang phải, do giới hạn dưới luôn là 0.

• Phân phối loga chuẩn không bao giờ âm.

                             

4.1. Đo lường và diễn giải tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục dựa trên lợi suất nắm giữ cụ thể

Công thức của continuous compounding

5. Phân phối Student's T;  Phân phối Chi-square và Phân phối F

5.1. Phân phối T: Phân phối T là phân phối xác suất đối xứng được xác định bởi một tham số duy nhất được gọi là bậc tự do (degree of freedom).

Phân phối T so với phân phối chuẩn:

• Phân phối T có đuôi béo hơn so với phân phối chuẩn.

• Bậc tự do (degree of freedom): df = n-1 (n là cỡ mẫu).

• Khi df tăng, hình dạng của phân phối t tiến tới phân phối chuẩn.

 

5.2. Phân phối Chi-square: Phân phối Chi-square là tổng bình phương của k biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập có phân phối chuẩn. Phân phối Chi-square có các đặc tính chính sau:

• Hình dạng của nó là không đối xứng.

• Nó không nhận các giá trị âm.

 

5.3. Phân phối F: Phân phối F là phân phối không đối xứng được giới hạn từ bên dưới bởi 0 và liên quan trực tiếp đến phân phối Chi-square.

• Phân phối F có 2 bậc tự do.

• Khi bậc tự do của cả tử số (df1) và mẫu số (df2) đều tăng, hàm mật độ cũng sẽ trở thành đường cong giống hình chuông hơn.

6. Phương pháp giả lập Monte Carlo và giả lập dựa trên dữ liệu quá khứ

	Phương pháp giả lập Monte Carlo (Monte Carlo simulation)	Phương pháp giả lập dựa trên dữ liệu quá khứ (Historical simulation)
Định nghĩa	Sử dụng máy tính để lặp đi lặp lại quá trình tạo ra một hoặc nhiều yếu tố rủi ro ảnh hưởng đến giá trị của chứng khoán, từ đó suy đoán về phân phối xác suất của giá trị chứng khoán. Để tạo mô phỏng Monte Carlo, cần có giả định về các tham số và phân phối xác suất của yếu tố rủi ro.	Mô phỏng lấy mẫu từ thay đổi thực tế của các giá trị hoặc yếu tố rủi ro trong quá khứ
Ưu điểm	Linh hoạt, có thể thay đổi các giả thiết để trả lời câu hỏi “nếu-thì”	Sử dụng phân phối của các yếu tố rủi ro trong thực tế
Hạn chế	Phức tạp Sử dụng giả định về phân phối xác suất của các yếu tố rủi ro Kết quả thu được là ước lượng dựa trên phương pháp thống kê, không phải kết quả chính xác. Không phải phương pháp phân tích và không thể kết luận về mối quan hệ nhân quả giữa các biến.	Không thể trả lời được câu hỏi “nếu – thì”. Thay đổi trong quá khứ không phải lúc nào cũng là dấu hiệu tin cậy để dự báo về tương lai. Các yếu tố rủi ro xảy ra ngoài khoảng thời gian mà dữ liệu mô phỏng được lấy không được phản ánh trong mô phỏng.