[Level 1] Quantitative Methods

[Tổng hợp các dạng bài tập điển hình] của Reading 4: Common Probability Distributions

Các dạng bài tập thường gặp khi học Reading 4 trong chương trình CFA level 1

I. Dạng bài tập về phân phối đều

1. Lý thuyết

2. Ví dụ

Ví dụ 1: The number of days a particular stock increases in a given five-day period is uniformly distributed between zero and five inclusive. In a given five-day trading week, what is the probability that the stock will increase exactly three days?

A. 0.333.
B. 0.600.
C. 0.167.

Đáp án: C

Các giá trị X có thể có là (0,1,2,3,4,5), suy ra X là biến ngẫu nhiên rời rạc với n = 6. Theo đề bài, X tuân theo phân phối đều (uniformly distributed), do đó p (3) = 1/6 = 0.167.

Ví dụ 2: A continuous uniform distribution is bounded by zero and 20. The probability of an outcome equal to 12 is closest to:

A. 0.00.
B. 0.05.
C. 0.60.

Đáp án: A

Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục nhận một giá trị cụ thể bất kỳ bằng 0, tức là P(x=X) = 0.

II. Dạng bài tập về phân phối nhị thức

1.  Lý thuyết

Phép thử Bernoulli là phép thử ngẫu nhiên mà chỉ xảy ra một trong hai kết quả thành công hoặc thất bại, trong đó xác suất thành công p không đổi mỗi khi phép thử được tiến hành.

Biến ngẫu nhiên nhị thức X được định nghĩa là số lần thành công trong n phép thử Bernoulli, với giả định (1) xác suất thành công p không đổi với mọi phép thử và (2) n phép thử độc lập với nhau.

Khi đó:

  • E(X) = np
  • Var (X) = np(1 – p)

Cây nhị thức biểu diễn sự biến động giá của tài sản qua các chu kỳ, được ứng dụng rộng rãi trong việc định giá quyền chọn. Với mỗi chu kỳ, xác suất giá tăng (up-move) là p, xác suất giá giảm (down-move) là (1 – p). Xác suất này không đổi qua các chu kỳ và sự thay đổi giá ở các chu kỳ độc lập với nhau. Do đó, số lần giá tăng trong n chu kỳ là một biến ngẫu nhiên nhị thức.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: For a binomial random variable with a 40% probability of success on each trial, the expected number of successes in 12 trials is closest to:

A. 8.
B. 6.
C. 2.

Đáp án: A

Biến ngẫu nhiên nhị thức X có p = 0.40, n = 12, suy ra E(X) = np = 12 x 0.4 = 4.8.

Ví dụ 2: The probability that fund manager will produce returns in excess of the returns on the S&P 500 index in any one year is 45%. The probability that the manager will produce returns in excess of the returns on the S&P 500 index in 4 or 5 of the next five years is closest to:

A. 3%.
B. 4%.
C. 3%.

Đáp án: B

Số năm mà nhà quản lý quỹ đạt tỷ suất lợi nhuận vượt mức tỷ suất lợi nhuận của chỉ số S&P 500 là một biến ngẫu nhiên nhị thức với p = 0.45, n = 5.

Do đó, P (X = 4) + P (X = 5) = 11.3% + 3.1% = 14.4%

Ví dụ 3: An analyst is creating a binomial tree for a stock price based on the following assumptions: the probability of an up move is 62%, the up factor is 1.15, and the down factor is 1/1.15. The probability that the stock price will be unchanged after two periods is closest to:

A. 24%.
B. 42%.
C. 47%.

Đáp án: C

Vì 1.15 x 1/1.15 = 1 nên giá cổ phiếu không thay đổi sau hai chu kỳ nếu xảy ra một trong hai trường hợp:

  • Giá tăng sau chu kỳ 1 và giảm sau chu kỳ 2, hoặc
  • Giá giảm sau chu kỳ 1 và tăng sau chu kỳ 2

trong đó, xác suất của mỗi trường hợp là: 0.62 x (1 – 0.62) = 0.2356. Vậy, xác suất một trong hai trường hợp xảy ra là 2 x 0.2356 = 0.4712.

III. Dạng bài tập về phân phối chuẩn và phân phối chuẩn tắc

1. Lý thuyết

a. Tính xác suất dựa trên bảng xác suất tích lũy của phân phối chuẩn tắc (z-table)

Lưu ý:


b. Xác định danh mục đầu tư tối ưu dựa vào tiêu chí an toàn là trên hết của Roy - Roy's safety-first ratio

Chọn danh mục đầu tư có giá trị SFRatio lớn nhất, với:

2.         Ví dụ

Ví dụ 1: A group of investors wants to be sure to always earn at least a 5% rate of return on their investments. They are looking at an investment that has a normally distributed probability distribution with an expected rate of return of 10% and a standard deviation of 5%. The probability of meeting or exceeding the investors' desired return in any given year is closest to:

A. 98%.
B. 84%.
C. 34%.

Đáp án: B

(do xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục tại một giá trị cụ thể bất kỳ bằng 0)


Ví dụ 2: An investor is considering investing in one of the following three portfolios:

Statistical Measures

Portfolio X

Portfolio Y

Portfolio Z

Expected annual return

12%

17%

22%

Standard deviation of return

14%

20%

25%

If the investor's minimum acceptable return is 5%, the optimal portfolio using Roy's safety-first criterion is:

A. Portfolio X.
B. Portfolio Y.
C. Portfolio Z.

Đáp án: C

Theo tiêu chí an toàn là trên hết của Roy, danh mục Z là danh mục tối ưu vì có SFRatio lớn nhất.

IV.   Dạng bài tập về phân phối loga chuẩn

1.         Lý thuyết

Phân phối loga chuẩn có độ lệch >0 (skewed to the right) và có giới hạn dưới tại điểm 0. Do đó, phân phối loga chuẩn được ứng dụng để xây dựng mô hình giá của tài sản vì giá luôn nhận giá trị không âm.

Ứng dụng:


2.         Ví dụ

Ví dụ 1: An investment with an initial cost of $30,000 is sold for $60,000 after two years. The annual return on a continuously compounded basis is closest to:

A. 35%.
B. 38%.
C. 40%.

Đáp án: A

 Tỷ suất lợi nhuận gộp mỗi năm là: 0.6931/2 = 0.3466.

 

Author: Thanh Thủy

Reviewer: Đào Ngọc Sơn, Hoang Ngoc