[Level 1] Quantitative Methods

[Tổng hợp các dạng bài tập điển hình] Reading 3 - Probabilities concepts

Bài viết sẽ cung cấp cho độc giả tổng quan về cách giải các dạng bài tập của Reading 3

1. Odds:

1.a. Odds for probability:

Special case: odds for E is “a to b”, then: P(E)=a/(a+b)

Trong đó: 

  • E: Odds.
  • P(E): Probability of event E (xác suất xảy ra sự kiện E).

1.b. Odds against probability:

Special case: odds for E is “a to b”, then: P(E)=b/(a+b)

Trong đó: 

  • E: Odds.
  • P(E): Probability of event E (xác suất xảy ra sự kiện E).

1.c. Bài tập:

Bài tập 1: If the probability that Zolaf Company sales exceed last year’s sales is 0.167, the odds for exceeding sales are closest to:

A) 1 to 5.
B) 1 to 6.
C) 5 to 1.

Trả lời:

Odds for exceeding sales: (0.167)/(1-0.167) ~ (1/5)

=> Odds for exceeding sales: 1 to 5 => Answer: A

Bài tập 2: The following table summarizes the results of a poll taken of CEO's and analysts concerning the economic impact of a pending piece of legislation:

Group

Think it will have a positive impact

Think it will have a negative impact

Total

CEO’s

40

30

70

Analysts

70

60

130

 

110

90

200

What is the probability that a randomly selected individual from this group will be either an analyst or someone who thinks this legislation will have a positive impact on the economy?

A) 0.85.
B) 0.75.
C) 0.80.

Trả lời:

Để tính xác suất chọn ngẫu nhiên một nhà phân tích bất kì, hoặc một CEO nghĩ rằng luật mới sẽ có tác động tích cực lên nền kinh tế trong tổng số tất cả 200 người, ta có:

Tổng số nhà phân tích: 130

Tổng số CEO nghĩ rằng luật mới sẽ có tác động tích cực: 40

Tổng số người tham gia khảo sát: 200

=> Xác suất: (130 + 40) / 200 = 0.85.

=> Đáp án đúng là A.

2. Quy tắc nhân xác suất (Multiplication Rule for Probability):

2.a. Quy tắc nhân xác suất (Multiplication Rule for Probability):

Nếu A và B là 2 biến cố phụ thuộc:

P(AB) = P(A|B) x P(B)

Trong đó: 

  • P(A|B): Xác suất xảy ra biến cố A khi biến cố B đã xảy ra.
  • P(B): Xác suất xảy ra biến cố B.
  • P(AB): Xác suất biến cố tích A và B.

Nếu A và B là 2 biến cố độc lập:

P(AB) = P(A) x P(B)

Trong đó: 

  • P(A): Xác suất xảy ra biến cố A.
  • P(B): Xác suất xảy ra biến cố B.
  • P(AB): Xác suất biến cố tích A và B.

2.b. Xác suất có điều kiện (Conditional Probability):

P(A|B)=P(AB) / P(B)

(Điều kiện: P(B) ≠0)

2.c. Bài tập:

Bài tập 1: An analyst has estimated the probability that an investment manager will exceed his benchmark return in each of the next two quarters is 0.35. Assuming that each quarter’s performance is independent of the other, which is the probability that the investment manager will exceed his benchmark return over the two-quarter period in total?

A) 0.7
B) 0.35
C) 0.1225

Trả lời:

Để tính xác suất người quản lý quỹ sẽ vượt mức mà anh  ta đặt ra trong 2 kỳ tời, ta sẽ dùng quy tắc nhân xác suất.Vì 2 sự kiện là độc lập với nhau, nên ta sẽ sử dụng công thức P(AB)=P(A)P(B). Xác suất để nhà quản lý đầu tư sẽ vượt qua mức chuẩn của anh ta là:

P = 0.35 x 0.35 = 0.1225 => Đáp án đúng là C.

3. Công thức cộng xác suất (Addition Rule for Probabilities):

3.a. Công thức:

P (A+B) = P (A) + P (B) - P (AB)

Trong đó:

  • P(AB): Xác suất A và B đồng thời xảy ra.
  • P(A+B): Xác suất xảy ra biến cố tổng A và B.
  • P(A): Xác suất xảy ra cả 2 biến cố A.
  • P(B): Xác suất xảy ra cả 2 biến cố B.

3.b. Bài tập

Bài tập 1: At a charity ball, 800 names are put into a hat. Four of the names are identical. On a random draw, what is the probability that one of these four names will be drawn?

A)  0.004.
B)  0.005.
C)  0.010.

Trả lời:

Vì việc lấy ra các tên trong từng lần là độc lập và không phụ thuộc vào nhau, nên xác suất để 1 trong 4 cái tên giống nhau đó được chọn là:

 => Đáp án đúng là B.

 

4. Công thức xác suất đầy đủ:

4.a. Công thức:

Trong đó:

4.b. Bài tập

Bài tập 1: The probability of A is 0.4. The probability of C is 0.6. The probability of (B | A) is 0.5, and the probability of (B | C) is 0.2. What is the probability of B?

A) 0.52.
B) 0.32.
C) 0.45.

Trả lời:

Theo công thức xác suất đầy đủ:

P(B) = [P(B | A) × P(A)] + [P(B | C) × P(C)] = [0.5 × 0.4] + [0.2 × 0.6] = 0.32.

=> Đáp án đúng là C

 

5. Giá trị kỳ vọng (Expected Value):

5.a. Công thức:

Sử dụng cho tính xác suất:

Sử dụng cho tính giá trị kỳ vọng:

Trong đó:

5.b. Bài tập

Bài tập 1: Use the following probability distribution to calculate the expected return for the portfolio

State of the Economy

Probability

Return on Portfolio

Boom

0.30

15%

Bust

0.70

3%

A) 6.6%.
B) 9.0%.
C) 8.1%.

Trả lời:

Áp dụng công thức tính giá trị kỳ vọng được trình bày ở trên, ta có:

Giá trị kỳ vọng: 0.30 × 0.15 + 0.70 × 0.03 = 6.6%

=> Đáp án đúng là A.

 

6. Phương sai (Variance) và hiệp phương sai (Covariance):

6.1. Phương sai của biến ngẫu nhiên

6.1.a. Công thức phương sai (Variance):

Trong đó:

6.1.b. Công thức độ lệch chuẩn (Standard Deviation):

Trong đó:

6.2. Hiệp phương sai:

6.2.a. Công thức hiệp phương sai:

Tính dựa trên dữ liệu của mẫu:

Tính dựa trên xác suất của các biến ngẫu nhiên rời rạc:

Tính dựa trên phương sai và hệ số tương quan:

Trong đó:

6.3. Bài tập

Bài tập 1: An analyst produces the following joint probability function for a foreign index (FI) and a domestic index (DI).

 

RDI = 30%

RDI = 25%

RDI = 15%

RFI = 25%

0.25

   

RFI = 15%

 

0.50

 

RFI = 10%

   

0.25

The covariance of returns on the foreign index and the returns on the domestic 

index is closest to:

A) 26.39.
B) 26.56.
C) 28.12.

Trả lời:

Để tính hiệp phương sai theo xác suất thì ta cần tính thêm giá trị kỳ vọng của RDI, RFI

Các bước tính toán:

B1: Tính kỳ vọng của RDI, RFI.

E(RFI) = (0.25 x 25) + (0.50 x 0.15) + (0.25 x 10) = 6.25 + 7.50 +2.50 = 16.25

E(RDI) = (0.25 x 30) + (0.50 x 0.25) + (0.25 x 15) = 7.50 + 12.50 +3.75 = 23.75

B2: Tính hiệp phương sai:

=> Chọn B

Bài tập 2: Given P(X = 2, Y = 10) = 0.3, P(X = 6, Y = 2.5) = 0.4, and P(X = 10, Y = 0) = 0.3, then Cov(XY) is:

A) -12.0.
B) 6.0.
C) 24.0.

Trả lời:

Giá trị kỳ vọng: 

  • E(X) = (0.3 × 2) + (0.4 × 6) + (0.3 × 10) = 6.
  • E(Y) = (0.3 × 10.0) + (0.4 × 2.5) + (0.3 ×0.0) = 4. 

Hiệp phương sai: 

COV(XY) = ((0.3 × ((2 – 6) × (10 – 4))) + ((0.4 × ((6 – 6) × (2.5 – 4))) + (0.3 × ((10 – 6) ×(0 – 4))) = –12.

=> Đáp án đúng là A

Bài tập 3: Tương quan lợi nhuận giữa cổ phiếu A và B là 0,50. Hiệp phương sai giữa hai chứng khoán này là 0,0043; độ lệch chuẩn lợi nhuận cổ phiếu B là 26%. Tính phương sai lợi nhuận của cổ phiếu A.

Trả lời:

Vì đề bài đã cho độ lệch chuẩn lợi nhuận cổ phiếu B, hiệp phương sai giữa hai chứng khoán A và B, tương quan lợi nhuận giữa cổ phiếu A và B. Từ các thông tin đề bài cho, ta có thể tính toán được phương sai lợi nhuận cổ phiểu A từ công thức biến đổi của hiệp phương sai (Ở phần 6.2.a):

7. Công thức Bayes (Bayes Formula)

Ví dụ: An analyst expects that 20% of all publicly traded companies will experience a decline in earnings next year. The analyst has developed a ratio to help forecast this decline. If the company is headed for a decline, there is a 90% chance that this ratio will be negative. If the company is not headed for a decline, there is only a 10% chance that the ratio will be negative. The analyst randomly selects a company with a negative ratio. Based on Bayes' theorem, the updated probability that the company will experience a decline is:

A) 69%.
B) 26%.
C) 18%.

Trả lời:

Trong bài, có 2 dữ kiện cần quan tâm: đó là liệu rằng lợi nhuận của công ty năm sau sẽ tăng hay giảm tỷ lệ dùng để dự phóng lợi nhuận năm sau. Theo đó, lợi nhuận của công ty năm sau có thể tăng (xác suất là 1 - 20% = 80%)  hoặc giảm (20%). Khi giảm, xác suất để tỷ lệ nhận giá trị âm là 90%. Nếu lợi nhuận công ty không giảm, xác suất để tỷ lệ mang dấu âm là 10%. Từ đó ta có các xác suất sau.

P(Công ty có sự suy giảm trong lợi nhuận) = 0.20.

P(Tỷ lệ sẽ âm trong năm sau) 

= P(Tỷ lệ sẽ âm trong năm sau|Công ty có sự suy giảm trong lợi nhuận) + P(Tỷ lệ sẽ âm trong năm sau|Công ty không có sự suy giảm trong lợi nhuận)

= (0.90) × (0.20)) + ((0.10) × (0.80) = 0.26. 

Áp dụng công thức Bayes ta có: nếu chọn 1 công ty có tỷ lệ mang giá trị âm thì xác suất lợi nhuận của công ty đó giảm là:

Kết quả: (0.20 / 0.26) × (0.90) = 0.69

Trong đó: 

Sự kiện: công ty có sự suy giảm trong lợi nhuận, xác suất 20%.

Thông tin: tỷ lệ nhận giá trị âm, xác suất là 26%.

Xác suất để tỷ lệ nhận giá trị âm khi công ty có sự suy giảm trong lợi nhuận là: 90%.

Đáp án đúng là A


8. Multinomial Formula, Combination Formula, Permutation Formula:

8.a. Multinomial Formula (Labeling) - Công thức chỉ định:

Trong đó:

n: số đối tượng.

k: các cách chỉ định.

8.b. Combination Formula - Công thức tính tổ hợp:

Trong đó:

n: số đối tượng.

r: số đối tượng được chọn.

8.c. Permutation Formula - Công thức tính chỉnh hợp:

Trong đó:

n: số đối tượng.

r: số đối tượng được chọn.

Ví dụ 1: Consider a portfolio consisting of eight stocks. Your goal is to designate four of the stocks as “long-term holds,” three of the stocks as “short-term holds,” and one stock as “sell.” How many ways can these eight stocks be labeled?

A) 280.
B) 336.
C) 216.

Trả lời:

Đề bài yêu cầu tìm các cách để chỉ định 8 cổ phiếu theo từng loại: nắm giữ dài hạn (số lượng 4), nắm giữ ngắn hạn (số lượng: 3), bán (số lượng: 1). Áp dụng công thức chỉ định  ta có: n = 8; n1=4, n2= 3, n3=1. Ta có: 

  • Đáp án đúng là A

Ví dụ 2: How many ways are there to sell three stocks out of eight if the order of the sales is important?

A) 56.
B) 336.
C) 216.

Trả lời:

Nếu thứ tự bán là quan trọng thì ta cần sử dụng công thức tính chỉnh hợp. Công thức tổ hợp chỉ giải quyết các cách để tính số nhóm bao gồm 3 cổ phiếu bất kỳ, nếu sử dụng công thức đó trong bài này thì người làm sẽ tính thiếu, dẫn đến sai kết quả.

Với n = 8, r = 3, ta có:

  • Đáp án đúng là B.

Ví dụ 3: How many ways can 4 stocks be sold from a 9-stock portfolio if the order of the sales is not important?

A) 672.
B) 3024.
C) 126.

Trả lời:

Nếu thứ tự bán là không quan trọng thì ta cần sử dụng công thức tính tổ hợp. Công thức chỉnh hợp phù hợp với để bán 4 cổ phiếu nếu thứ tự bán là quan trọng, nếu sử dụng công thức đó trong bài này thì người làm sẽ tính thừa, dẫn đến sai kết quả.

Với n = 9, r = 4, ta có:

  • Đáp án đúng là C.

Reviewer: Bích Ngọc