[Tổng hợp các kiến thức cơ bản] Module 2: Khung định giá theo nguyên lý không chênh lệch giá (The arbitrage-free valuation framework)

Tổng hợp các kiến thức quan trọng, cần lưu ý khi học Module 2 môn Fixed Income trong chương trình CFA level 2

1. Giải thích khái niệm "không chênh lệch giá” (arbitrage-free)

Định giá theo nguyên lý không có chênh lệch (arbitrage-free valuation) giá là tìm ra giá của chứng khoán trong điều kiện không ai có thể kiếm được lợi nhuận từ giao dịch chênh lệch giá.

Định giá theo phương pháp này cần tuân thủ:

• Thỏa mãn quy tắc tổng giá (value additivity principle): Giá trị của một danh mục bằng tổng giá trị của các tài sản đơn lẻ trong danh mục đó.

• Không có hiện tượng áp đảo giá (dominance): Các chứng khoán có cùng tính chất phải được giao dịch ở cùng một mức giá

Khi thỏa mãn các điều kiện không chênh lệch giá, chứng khoán thu nhập cố định có thể được coi như một danh mục các cổ phiếu không coupon thông qua 2 hình thức:

• Tách nhỏ (stripping): mua trái phiếu, tách các dòng tiền trên trái phiếu gốc để mua bán, trao đổi các trái phiếu không có coupon.

• Tái gộp (reconstitution): mua những phần tách nhỏ, gộp lại và bán đi như một trái phiếu trả coupon.

2. Giá trị không chênh lệch giá của trái phiếu không quyền chọn

Để định giá một trái phiếu với lãi suất coupon cố định, không có quyền chọn, ta thực hiện theo phương pháp sử dụng đường cong lãi suất, chiết khấu từng dòng tiền của trái phiếu trong tương lai về thời điểm hiện tại với công thức:

3. Mô hình cây thị thức lãi suất

Cây nhị thức lãi suất là một mô hình logarit chuẩn (log-normal model) với giả định rằng tại mỗi nút (nodes), lãi suất 1 kỳ (one-period rate) tiếp theo có 2 khả năng (outcome) với xác suất xảy ra là như nhau.

Với mức lãi suất ban đầu là  và có 2 kịch bản cho  trong tương lai với  là (1)  =  và (2)  = . Mô hình cây nhị thức giả định là xác suất khả năng xảy ra hai kịch bản này bằng nhau và bằng 50%.

2 khả năng (outcome) tại mỗi nút của cây nhị thức chênh nhau nhiều hay ít phụ thuộc vào giả định của mức độ biến động lãi suất (assumed rate volatility) sử dụng trong mô hình cây nhị thức. Sự thay đổi của lãi suất tuân theo cấp số nhân với độ lệch chuẩn . Hai kịch bản lãi suất từ cùng một node hơn kém nhau  lần, hay:

Khi xây dựng cây nhị thức, có 3 tiêu chí cần được đáp ứng:

• Giá trị của trái phiếu từ mô hình phải bằng giá thị trường của trái phiếu;

• Lãi suất kỳ hạn liền trên và liền dưới tại các nút phải cách nhau 2 lần độ lệch chuẩn;

• Điểm chính giữa của một kỳ phải xấp xỉ lãi suất kỳ hạn 1 năm tại kỳ đó.

4.   Định giá trái phiếu không đi kèm quyền chọn bằng phương pháp truy ngược

Định giá truy ngược (backward induction) là quá trình sử dụng cây nhị thức để tìm giá trị của trái phiếu tại gốc.

“Truy ngược” có nghĩa là để tìm được giá trị tại gốc ta cần biết những giá trị tiềm năng của trái phiếu tại các nút ở thời điểm 1, tương tự như vậy, để tìm giá trị tại các nút ở thời điểm T cần biết giá trị tại các nút tại thời điểm T+1.

• Vì mô hình cây nhị thức giả định rằng xác suất của hai kịch bản lãi suất có thể xảy ra tại mỗi node là bằng nhau, nên giá trị của một trái phiếu tại một node trên cây nhị thức bằng trung bình giá trị hiện tại của hai giá trị mà trái phiếu có thể nhận tại giai đoạn kế tiếp. Lãi suất được sử dụng để chiết khấu về hiện tại là lãi suất kỳ hạn đi kèm với mỗi node. Ta sử dụng công thức sau để tính giá trị của trái phiếu tại một nút bất kỳ:

Để hiểu rõ hơn về phương pháp tính này, hãy nghiên cứu ví dụ sau:

Ví dụ: Định giá trái phiếu không đi kèm quyền chọn bằng mô hình cây nhị thức

Cho một trái phiếu coupon 7%, lãi trả hằng năm, thời gian đáo hạn là 2 năm. Điền vào các vị trí còn trống trên cây nhị thức và tính giá trị trái phiếu tại thời điểm hiện tại.

Đáp án:

Bước 1: Xác định các giá trị có mà trái phiếu có thể nhận tại các node thuộc năm thứ 1

• Giá trị của trái phiếu tại Node 1 (node cao hơn) = trung bình giá trị hiện tại của các giá trị có thể nhận tại năm thứ 2

• Tương tự, giá trị trái phiếu tại node 2 (node thấp hơn):

Bước 2: Tính giá trị của trái phiếu tại node 0 – thời điểm hiện tại:

Từ đó ta có sơ đồ cây nhị thức hoàn chỉnh như sau:

Lưu ý: 

Vì đây là 2 phương pháp không có chênh lệch giá (arbitrage free), một trái phiếu sử dụng 2 mô hình định giá trên sẽ cho ra kết quả như nhau.

Với trái phiếu có quyền chọn, giá trị của quyền chọn thay đổi theo các khả năng của lãi suất trong tương lai. Vì thế, việc định giá trái phiếu có quyền chọn cần sử dụng những mô hình có tính đến các khả năng khác nhau của lãi suất. Cây nhị thức là một mô hình như vậy.

5. Phương pháp định giá theo nhánh

5.1. Định nghĩa

Định giá theo nhánh (pathwise valuation) là phương pháp định giá một trái phiếu bằng cách tính giá trị trung bình của tất cả những mức giá có khả năng xảy ra của trái phiếu đó. Phương pháp này gồm 3 bước:

• Liệt kê các nhánh của cây;

• Tính giá trị hiện tại của trái phiếu theo mỗi nhánh;

• Tính giá trung bình của giá trị hiện tại tại mỗi nhánh.

5.2. Liệt kê các nhánh

Để liệt kê được các nhánh, trước tên, ta cần biết cây có bao nhiêu nhánh. Với cây nhị thức có n kỳ, số nhánh của cây là nhánh.

5.3. Thực hiện định giá theo nhánh

Bước 1: Liệt kê những nhánh đường đi của lãi suất qua các năm

Bước 2: Tính giá trị hiện tại của trái phiếu tại mỗi nhánh bằng phương pháp chiết khấu dòng tiền;

Bước 3: Tính giá trị trung bình của các trái phiếu tại mỗi nhánh.

6. Mô phỏng Monte-Carlo cho lãi suất kỳ hạn

Để sử dụng được phương pháp định giá truy ngược cho trái phiếu, ta cần giả định là dòng tiền không phụ thuộc vào hướng đi của lãi suất. Tuy nhiên trên thực tế, vẫn có những sản phẩm trái phiếu có dòng tiền phụ thuộc vào hướng đi của lãi suất, hay nói cách khác là dòng tiền nhận được phụ thuộc vào lãi suất tại từng giai đoạn, ví dụ như chứng khoán bảo đảm bằng thế chấp (MBS). Người đi vay thường sẽ thanh toán khoản vay trước hạn khi lãi suất giảm để có thể tiếp tục đi vay nơi khác tại mức lãi suất thấp hơn.

Để định giá những trái phiếu như vậy, có thể sử dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo (Monte Carlo simulation).

• Bước 1: Tạo ra một lượng lớn đường đi của lãi suất (interest rate paths)

• Bước 2: Tính lãi suất giao ngay từ các lãi suất kỳ hạn được tạo thành từ các lãi suất kỳ hạn ở bước 1

• Bước 3: Xác định dòng tiền tại mỗi nhánh

• Bước 4: Tính toán giá trị hiện tại cho các dòng tiền ở mỗi nhánh

• Bước 5: Tính toán giá trị trung bình của tất cả các nhánh.

7. Các cấu trúc kỳ hạn và ứng dụng

7.1. Mô hình cấu trúc kỳ hạn cân bằng (Equilibrium term structure models)

Đây là nhóm mô hình sử dụng đầu vào là các biến kinh tế cơ bản có tính quyết định đối với lãi suất

7.1.1. Mô hình CIR (Cox-Ingersoll-Ross)

Trong đó:

• : Mức thay đổi của lãi suất ngắn hạn
• a: Tốc độ hồi quy trung bình của tham số (trong mô hình này là lãi suất)
• b: giá trị trung bình dài hạn của lãi suất ngắn hạn
• r: Lãi suất ngắn hạn
• t: Thời gian
• dt: Mức tăng nhỏ của thời gian (đạo hàm)
• σ: Mức biến động của lãi suất
• dz: Bước đi ngẫu nhiên nhỏ

Mô hình CIR giả định:

• Trong nền kinh tế có một mức lãi suất dài hạn là (b), lãi suất hiện tại là (r) sẽ tiến đến mức dài hạn với tốc độ là (a).

• Mức độ biến động của lãi suất thay đổi theo (r).

Lãi suất kết quả của mô hình không thể âm

7.1.2. Mô hình Vasicek

Trong đó:

• : Mức thay đổi của lãi suất ngắn hạn
• a: Tốc độ hồi quy trung bình của tham số (trong mô hình này là lãi suất)
• b: giá trị trung bình dài hạn của lãi suất ngắn hạn
• r: Lãi suất ngắn hạn
• t: Thời gian
• dt: Mức tăng nhỏ của thời gian (đạo hàm)
• σ: Mức biến động của lãi suất
• dz: Bước đi ngẫu nhiên nhỏ

Là mô hình tương tự như mô hình CIR, nhưng mô hình Vasicek giả định rằng độ biến động của lãi suất là cố định, không phụ thuộc vào r.

Lãi suất kết quả của mô hình có thể âm.

7.2. Mô hình không có chênh lệch giá (Arbitrage-free models)

7.2.1. Mô hình Ho-Lee

• : Mức thay đổi của lãi suất ngắn hạn

• t: Thời gian

• dt: Mức tăng nhỏ của thời gian (đạo hàm)

• σ: Mức biến động của lãi suất

• dz: Bước đi ngẫu nhiên nhỏ

• : Hệ số trượt phụ thuộc vào thời gian (time-dependent drift term)

Mô hình Ho-Lee sử dụng giá thị trường để tìm cấu phần trượt (drift term)  là thành phần của cấu trúc kỳ hạn hiện tại. Mô hình giả định lãi suất ngắn hạn được phân phối chuẩn với biến động cố định (constant volatility).

Mô hình cho ra kết quả là một phân phối chuẩn của lãi suất, và lãi suất có thể âm.

7.2.2. Mô hình KWF (Kalotay-Williams-Fabozzi)

• : Mức thay đổi của lãi suất ngắn hạn

• t: Thời gian

• dt: Mức tăng nhỏ của thời gian (đạo hàm)

• σ: Mức biến động của lãi suất

• dz: Bước đi ngẫu nhiên nhỏ

• : Hệ số trượt phụ thuộc vào thời gian (time-dependent drift term)

Mô hình này tương tự như mô hình Ho-Lee, nhưng giả định rằng lãi suất ngắn hạn tuân theo phân phối logarit chuẩn (lognormal distribution).

Lãi suất kết quả của mô hình không thể âm.

Nếu bạn cần thêm thông tin, đừng quên liên hệ với chúng tôi: